RING DAN SUBRING

RING DAN SUBRING

A.    Ring (gelanggang)

1.    Definisi ring

Misal R adalah suatu himpunan tak kosong yang dilengkapi dengan dua buah operasi yakni  (operasi penjumlahan) dan  (operasi pergandaan), selanjutnya dilambangkan dengan (R, ,  ).  Struktur  ( R, ,  ) dinamakan ring , jika memenuhi aksioma :

a.       ( R, ) grup abelian

b.      ( R, ) semi grup

c.       Sifat distributif kiri dan distributif kanan, yakni

       

       

Beberapa Definisi lain:

                               I.            Suatu ring  disebut ring komutatif jika operasi “” bersifat komutatif

                            II.            Suatu ring  disebut ring dengan unsur kesatuan jika (R,) merupakan suatu monoid. Jadi  sedemikian sehingga 1a = a 1 = a, "aÎR.

                         III.             Ring R dikatakan ring tanpa pembagi nol jika tidak ada produk dua elemen tak-nol yang menghasilkan nol. Atau dengan perkataan lain: “ jika a b = 0 maka     a = 0 atau b = 0, atau a = b = 0 ”; atau: “ jika a ¹ 0 dan b ¹ 0, maka ab ¹ 0 ”.

                         IV.            Ring R dikatakan ring dengan pembagi nol jika ada produk dua elemen tak-nol yang menghasilkan nol.

   Perlu diperhatikan bahwa, operasi penjumlahan dan operasi pergandaan disini Bukan Berarti  operasi penjumlahan dan pergandaan biasa.

            Contoh :

            Z = Himpunan semua bilangan bulat. Didefinisikan operasi pada Z seperti berikut :

             adalah operasi penjumlahan biasa, adalah operasi pergandaan biasa. (Z, , )  merupakan ring.

            Bukti :

a.       Ditunjukkan (Z, + ) grup abelian

                                    i.             …(sifat ketertutupan penjumlahan bilangan bulat)

                                  ii.              …(sifat assosiatif penjumlahan bilangan bulat)

                                iii.               berlaku  

     Jadi 0 adalah elemen netral pada Z

                                iv.            berlaku

    Jadi setiap elemen di Z mempunyai invers terhadap operasi  

                                  v.               …( sifat komutatif  penjumlahan bilangan bulat ).

                    Dari  a ( i, ii, iii, iv, dan v ), diperoleh ( Z, ) grup abelian

b.      Ditunjukkan ( Z , ) semigrup

i.       berlaku   …(sifat ketertutupan pergandaan bilangan bulat)

ii.                ,(sifat assosiatif pergandaan bilangan bulat)

                 Dari  b ( i dan ii), diperoleh ( Z , ) semigrup.

c.       Ditunjukkan berlaku sifat distributif kiri dan kanan

                 

                                       

2.    Sifat Ring

a.       Tertutup   

Maka a dioprasikan biner terhadap R

b.      Asosiatif    ,

Maka a dioprasikan biner terhadap b, terhadap c

c.       Unsure identitas/ netaral ,

 dinamakan elemen netral

d.      Unsur kebalikann/ invers  ,  (identitas)

3.    Karaktristik ring

Definisi : Misalkan R ring. Jika untuk setiap aÎR ada bilangan bulat positif terkecil n, sedemikian sehingga n.a = 0 (0 = unsur kesatuan aditif), maka dikatakan ring R mempunyai karakteristik n. Jika tidak ada n yang demikian, dikatakan ring R mempunyai karakteristik nol atau tak berhingga.

Contoh-contoh:

1.      B={0,1,2,3,4,5,6} dengan penjumlahan dan perkalian modulo 7 merupakan ring. Ring B mempunyai karakteristik 7.

2.      Himpunan Z, Q, dan R masing-masing dengan operasi penjumlahan dan perkalian, merupakan ring yang mempunyai karakteristik nol atau tak berhingga.

B.     Subring

          Definisi  :

Misalkan R ring. Suatu subset S tak kosong dari R dikatakan subring dari R jika S tertutup di bawah () dan (.) di R dan S sendiri merupakan ring dengan kedua operasi tersebut.

R sendiri dan {0} selalu merupakan subring dari R (subring tak sejati). Subring-subring R lainnya disebut subring sejati.

      Teorema 1

Jika S adalah subring dari ring R, maka S adalah subgrup aditif dari grup R.

·         Syarat perlu dan cukup agar sebuah subset tak kosong S dari ring R merupakan subring dari R adalah:

1.     

2.      , untuk setiap

3.       , untuk setiap

·         Irisan dua subring adalah subring.

      Teorema 2

Misalkan R suatu gelanggang tanpa elemen kesatuan dan S suatu anak gelanggang dari R. Jika S mempunyai elemen kesatuan, maka elemen kesatuan tersebut adalah elemen pembagi nol kiri atau elemen pembagi nol kanan.

Teorema 3

Misalkan R suatu gelanggang dengan elemen kesatuan u_R dan S anak gelanggang dari R. Jika S mempunyai elemen kesatuan u_S dan u_S  u_R, maka u_S adalah elemen pembagi nol dari R.

Teorema 4

Apabila S dan T masing-masing adalah anak gelanggang dari gelanggang R, maka SÇT adalah anak gelanggang dari R pula.

            Contoh :

1.    (Z,,) merupakan ring. S={2x / xÎZ} adalah subset tak kosong dari Z. Perhatikan bahwa (S,,) merupakan ring, sehingga S merupakan subring dari Z.

2.    (Z,,) merupakan ring. C={0,1,2,3,...} adalah subset tak kosong dari Z. Perhatikan bahwa (N,) bukan subring dari Z

DAERAH INTEGRAL DAN FIELD

A.    Definisi

Daerah integral adalah ring komutatif dengan anggota satuan dan tidak mempunyai pembagi nol sedangkan field adalah ring komutatif dengan anggota satuan dan setiap anggota yang tidak nol mempunyai invers. Dalam bab ini akan dibahas tentang sifat-sifat dasar dari daerah integral dan field.

1.      Teorema I

a)      Jika a dalam A dan a mempunyai invers maka a bukan pembagi nol.

b)      Jika A field maka A daerah integral.

Bukti:

a)      Misalkan ab = 0

Karena a mempunyai invers maka dengan mengalikan kedua ruas dengan a-1 diperoleh a-1      (ab)       = a-1 0

(a-1 a)b            = 0

1 . b      = 0

     B    = 0

Dengan cara yang sama, ba = 0 mengakibatkan b = 0. Oleh karena itu, a bukan pembagi nol.

b)        Karena setiap field merupakan ring komutatif dengan angngota satuan makatinggal dibuktikan bahwa dalam field tidak terdapat  pembagi nol.Karena setiap anggota field yang tidak nol mempunyai invers maka dengan mengingat sifat (1) sebarang field tidak mengandung pembagi nol. Berarti setiap field merupakan suatu daerah integral.

2.      Teorema II

Diketahui D daerah integral dan a, b dan c anggota dalam D dengan a ≠ 0.

Sifat – sifat berikut ini berlaku :

1.      Jika ab = ca maka b = c (kanselasi kiri).

2.       Jika ba = ca maka b = c (kanselasi kanan).

3.      Persamaan ax + b = 0 dengan x tidak diketahui paling banyak mempunyai satu penyelesaian.

Bukti:

1.    Karena ab = ac mengakibatkan ab – ac = 0 sehingga a(b-c) = 0. Karena a tidak nol dan dalam D tidak ada pembagi nol sejati makla b – c = 0 atau b = c.

2.    Analog dengan (1) (Untuk latihan). Misalkan s dan t merupakan anggota D yang merupakan penyelesaian dari persamaan ax + b = 0. Akibatnya as + b = at + b atau as = at. Dengan menggunakan kanselasi kiri diperoleh s = t.

Meskipun teorema tersebut di atas dinyatakan berlaku pada daerah integral tetapi sebenarnya juga berlaku pada sebarang ring yang tidak mempunyai pembagi nol sejati. Persamaan ax + b = 0 tidak perlu mempunyai suatu penyelesaian dalam Z tetapi bila a dan b anggota suatu field dana tidak nol maka teorema berikut ini menjamin adanyapersamaan ax + b = 0.

B.     Latihan soal

1.      Diketahui D daerah integral dan a,b ∈ D dengan a, b ≠ 0 maka jika dan hanya jika (b) ⊆ (a) buktikan !

2.      Diketahui D daerah integral elemen a  ∈ D merupakan elemen perima jika dan hanya jika (a) merupakan ideal perima.

3.      Tentukan semua pembagi nol dan semua unit (anggota yang mempunyai invers) dalam Z19.

4.       Tentukan invers pergandaan dari 3, 7, 11, dan 16 dalam Z17 .

math