RING
DAN SUBRING
A.
Ring
(gelanggang)
1. Definisi
ring
Misal R adalah suatu himpunan tak
kosong yang dilengkapi dengan dua buah operasi yakni 
(operasi penjumlahan) dan 
(operasi pergandaan), selanjutnya dilambangkan
dengan (R, , ).
Struktur ( R, , ) dinamakan ring , jika memenuhi aksioma :
(operasi penjumlahan) dan (operasi pergandaan), selanjutnya dilambangkan
dengan (R, , ).
Struktur ( R, , ) dinamakan ring , jika memenuhi aksioma :
a.
( R, ) grup abelian
) grup abelian
b.
( R, ) semi grup
) semi grup
c.
Sifat distributif kiri dan distributif kanan,
yakni
Beberapa Definisi lain:
I.
Suatu ring 
disebut ring
komutatif jika operasi “
” bersifat komutatif
disebut ring
komutatif jika operasi “” bersifat komutatif
II.
Suatu ring disebut ring
dengan unsur kesatuan jika (R,
) merupakan suatu monoid.
Jadi 
sedemikian sehingga 1
a = a 1 = a, "aÎR.
disebut ring
dengan unsur kesatuan jika (R,) merupakan suatu monoid.
Jadi sedemikian sehingga 1a = a 1 = a, "aÎR.
III.
Ring R
dikatakan ring tanpa pembagi nol
jika tidak ada produk dua elemen tak-nol yang menghasilkan nol. Atau
dengan perkataan lain: “ jika a b = 0 maka a = 0
atau b = 0, atau a = b = 0 ”; atau: “ jika a ¹ 0 dan b ¹ 0,
maka a
b ¹ 0 ”.
b = 0 maka a = 0
atau b = 0, atau a = b = 0 ”; atau: “ jika a ¹ 0 dan b ¹ 0,
maka ab ¹ 0 ”.
IV.
Ring R dikatakan ring dengan pembagi nol jika ada produk dua elemen tak-nol yang
menghasilkan nol.
Perlu diperhatikan bahwa, operasi penjumlahan dan operasi
pergandaan disini Bukan Berarti operasi
penjumlahan dan pergandaan biasa.
Contoh :
Z = Himpunan semua bilangan bulat. Didefinisikan
operasi pada Z seperti
berikut :
adalah operasi penjumlahan biasa, adalah operasi pergandaan
biasa. (Z, , ) merupakan ring.
Bukti
:
a.
Ditunjukkan (Z, + ) grup abelian
i.
…(sifat ketertutupan penjumlahan bilangan
bulat)
…(sifat ketertutupan penjumlahan bilangan
bulat)
ii.
…(sifat assosiatif penjumlahan bilangan bulat)
…(sifat assosiatif penjumlahan bilangan bulat)
iii.
berlaku 
berlaku
Jadi
0 adalah elemen netral pada Z
iv.
berlaku 
berlaku
Jadi setiap elemen di Z mempunyai invers terhadap operasi
v.
…(
sifat komutatif penjumlahan bilangan
bulat ).
…(
sifat komutatif penjumlahan bilangan
bulat ).
Dari
a ( i, ii, iii, iv, dan v ), diperoleh ( Z,
) grup abelian
) grup abelian
b.
Ditunjukkan ( Z , ) semigrup
) semigrup
i.
berlaku 
…(sifat ketertutupan
pergandaan bilangan bulat)
berlaku …(sifat ketertutupan
pergandaan bilangan bulat)
ii.
,(sifat assosiatif pergandaan bilangan bulat)
,(sifat assosiatif pergandaan bilangan bulat)
Dari
b ( i dan ii), diperoleh ( Z , ) semigrup.
) semigrup.
c.
Ditunjukkan berlaku sifat distributif kiri dan kanan
2. Sifat
Ring
a.
Tertutup
Maka a dioprasikan
biner 
terhadap R
terhadap R
b.
Asosiatif
, 
,
Maka a dioprasikan
biner terhadap b, terhadap c
c.
Unsure identitas/ netaral 
, 
, 
dinamakan elemen netral
d.
Unsur kebalikann/ invers 
, 
(identitas)
, (identitas)
3. Karaktristik
ring
Definisi : Misalkan R ring. Jika untuk setiap aÎR ada
bilangan bulat positif terkecil n, sedemikian sehingga n.a = 0 (0 = unsur
kesatuan aditif), maka dikatakan ring R mempunyai karakteristik n. Jika tidak
ada n yang demikian, dikatakan ring R mempunyai karakteristik nol atau tak
berhingga.
Contoh-contoh:
1. B={0,1,2,3,4,5,6}
dengan penjumlahan dan perkalian modulo 7 merupakan ring. Ring B mempunyai
karakteristik 7.
2. Himpunan
Z, Q, dan R masing-masing dengan operasi penjumlahan dan perkalian, merupakan
ring yang mempunyai karakteristik nol atau tak berhingga.
B.
Subring
Definisi :
Misalkan R ring. Suatu subset S tak kosong dari R
dikatakan subring dari R jika S tertutup di bawah () dan (.) di R dan S sendiri
merupakan ring dengan kedua operasi tersebut.
) dan (.) di R dan S sendiri
merupakan ring dengan kedua operasi tersebut.
R sendiri dan {0} selalu merupakan subring dari R
(subring tak sejati). Subring-subring R lainnya disebut subring sejati.
Teorema 1
Jika S adalah subring dari ring R, maka S adalah subgrup aditif dari grup
R.
·
Syarat perlu dan cukup agar sebuah subset tak
kosong S dari ring R merupakan subring dari R adalah:
1. 
2. 
, untuk setiap 
, untuk setiap
3. 
, untuk
setiap 
, untuk
setiap
·
Irisan dua subring adalah subring.
Teorema 2
Misalkan R suatu gelanggang tanpa elemen kesatuan dan S suatu anak
gelanggang dari R. Jika S mempunyai elemen kesatuan, maka elemen kesatuan
tersebut adalah elemen pembagi nol kiri atau elemen pembagi nol kanan.
Teorema 3
Misalkan R suatu gelanggang dengan elemen kesatuan uR
dan S anak gelanggang dari R. Jika S mempunyai elemen kesatuan uS
dan uS 
uR,
maka uS adalah elemen pembagi nol dari R.
uR,
maka uS adalah elemen pembagi nol dari R.
Teorema 4
Apabila S dan T
masing-masing adalah anak gelanggang dari gelanggang R, maka SÇT
adalah anak gelanggang dari R pula.
Contoh :
1. (Z,,) merupakan ring. S={2x / xÎZ}
adalah subset tak kosong dari Z. Perhatikan bahwa (S,,) merupakan ring, sehingga S
merupakan subring dari Z.
,) merupakan ring. S={2x / xÎZ}
adalah subset tak kosong dari Z. Perhatikan bahwa (S,,) merupakan ring, sehingga S
merupakan subring dari Z.
2. (Z,,) merupakan ring.
C={0,1,2,3,...} adalah subset tak kosong dari Z. Perhatikan bahwa (N,) bukan subring dari Z
,) merupakan ring.
C={0,1,2,3,...} adalah subset tak kosong dari Z. Perhatikan bahwa (N,) bukan subring dari Z
DAERAH INTEGRAL DAN FIELD
A.
Definisi
Daerah
integral adalah ring komutatif dengan anggota satuan dan tidak mempunyai
pembagi nol sedangkan field adalah ring komutatif dengan anggota satuan dan
setiap anggota yang tidak nol mempunyai invers. Dalam bab ini akan dibahas
tentang sifat-sifat dasar dari daerah integral dan field.
1. Teorema
I
a) Jika
a dalam A dan a mempunyai invers maka a bukan pembagi nol.
b) Jika
A field maka A daerah integral.
Bukti:
a) Misalkan
ab = 0
Karena
a mempunyai invers maka dengan mengalikan kedua ruas dengan a-1 diperoleh a-1 (ab) = a-1 0
(a-1
a)b = 0
1 . b = 0
B
= 0
Dengan
cara yang sama, ba = 0 mengakibatkan b = 0. Oleh karena itu, a bukan pembagi
nol.
b)
Karena setiap field merupakan ring komutatif
dengan angngota satuan makatinggal dibuktikan bahwa dalam field tidak
terdapat pembagi nol.Karena setiap
anggota field yang tidak nol mempunyai invers maka dengan mengingat sifat (1)
sebarang field tidak mengandung pembagi nol. Berarti setiap field merupakan
suatu daerah integral.
2. Teorema
II
Diketahui D
daerah integral dan a, b dan c anggota dalam D dengan a ≠ 0.
Sifat – sifat
berikut ini berlaku :
1. Jika
ab = ca maka b = c (kanselasi kiri).
2. Jika ba = ca maka b = c (kanselasi kanan).
3. Persamaan
ax + b = 0 dengan x tidak diketahui paling banyak mempunyai satu penyelesaian.
Bukti:
1. Karena
ab = ac mengakibatkan ab – ac = 0 sehingga a(b-c) = 0. Karena a tidak nol dan
dalam D tidak ada pembagi nol sejati makla b – c = 0 atau b = c.
2. Analog
dengan (1) (Untuk latihan). Misalkan s dan t merupakan anggota D yang merupakan
penyelesaian dari persamaan ax + b = 0. Akibatnya as + b = at + b atau as = at.
Dengan menggunakan kanselasi kiri diperoleh s = t.
Meskipun
teorema tersebut di atas dinyatakan berlaku pada daerah integral tetapi
sebenarnya juga berlaku pada sebarang ring yang tidak mempunyai pembagi nol sejati.
Persamaan ax + b = 0 tidak perlu mempunyai suatu penyelesaian dalam Z tetapi
bila a dan b anggota suatu field dana tidak nol maka teorema berikut ini
menjamin adanyapersamaan ax + b = 0.
B.
Latihan
soal
1. Diketahui
D daerah integral dan a,b ∈
D dengan a, b ≠ 0 maka jika dan hanya jika (b) ⊆
(a) buktikan !
2. Diketahui
D daerah integral elemen a ∈ D merupakan elemen perima
jika dan hanya jika (a) merupakan ideal perima.
3. Tentukan
semua pembagi nol dan semua unit (anggota yang mempunyai invers) dalam Z19.
4. Tentukan invers pergandaan dari 3, 7, 11, dan
16 dalam Z17 .
